Rumus Menentukan Besar dan Arah Resultan Vektor Beserta Contoh Soal dan Pembahasannya

Dalam artikel tentang cara melukiskan vektor resultan dengan metode grafis sudah dibahas secara detail tentang bagaimana cara menentukan resultan vektor dengan metode segitiga, jajargenjang dan poligon. Namun ketiga metode dalam artikel tersebut hanya digunakan untuk melukiskan vektor resultan saja, sehingga nilai dan arah resultan hanya bisa ditentukan dengan proses pengukuran.

Nah dalam artikel ini akan dibahas, cara mudah menentukan besar dan arah resultan vektor dengan melalui proses perhitungan yaitu dengan menggunakan Rumus Cosinus-Sinus. Lalu seperti apa rumus cosinus-sinus tersebut? Untuk memahami rumus cosinus-sinus, perhatikan penjelasan berikut ini.

Penurunan Rumus Cosinus-Sinus

Sebenarnya, rumus cosinus-sinus diperoleh dengan menggunakan asas trigonometri atau lebih tepatnya Dalil Pythagoras pada metode Jajargenjang, sehingga penentuan besar dan arah vektor resultan dengan rumus cosinus-sinus ini bisa dikatakan cara menentukan besar dan arah vektor resultan dengan menggunakan metode jajargenjang.

Untuk penurunan rumus cosinus-sinus, perhatikan gambar vektor gaya F1 dn F2 yang bekerja pada satu titik membentuk sudut sebesar α  berikut ini.

Dari gambar dua vektor F1 dn F2 yang membentuk sudut α di atas, maka dengan menggunakan metode jajar genjang, vektor resultan R dapat dilukiskan seperti pada gambar berikut ini

Dengan adanya vektor resultan R, maka terbentuk dua sudut baru, yaitu sudut antara R dengan F1 (β) dan sudut antara R dengan F2 (α- β). Dari bangun jajargenjang OKML, perhatikan gambar segitiga OKM. Jika kita tarik garis perpanjangan dari OK ke kanan, maka akan terbentuk segitiga siku-siku KNM, seperti pada gambar berikut ini.

Dengan menggunakan rumus trigonometri, maka diperoleh hasil seperti berikut:

KM	= F2
KN	= F2 cos α……………….(pers. 1)
NM	= F2 sin α………………..(pers. 2)

Perhatikan gambar segitiga ONM, segitiga ini merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku Hukum Pythagoras sebagai berikut

(OM)2	= (ON)2 + (NM)2
(OM)2	= (OK + KN)2 + (NM)2 ………………(pers. 3)

Dari gambar jajargenjang OKML, kita dapat mengetahui bahwa:

OM	= R  dan OK = F1..................................(pers. 4)

Jika persamaan 1,2 dan 4 disubtitusikan ke persamaan 3, maka akan menghasilkan persamaan sebagai berikut:

R2	= (F1 + F2 cos α)2 + (F2 sin α)2
R2	= F12 + 2 F1F2 cos α + F22 cos2 α + F22 sin2 α
R2	= F12 + F22 (sin2 α + cos2 α) + 2 F1F2 cos α………(pers. 5)

Kita tahu bahwa nilai dari sin2 α + cos2 α = 1, maka persamaan 5 menjadi

R2	= F12 + F22 + 2 F1F2 cos α…………….(pers. 6)

Dari persamaan 6, maka rumus akhir untuk menentukan besar vektor resultan atau kita sebut sebagai Rumus Kosinus adalah sebagai berikut:

Setelah rumus untuk menentukan besar vektor resultan sudah diketahui, lalu bagaimana rumus untuk menentukan arah vektor resultan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan gambar di bawah ini

Dari gambar di atas, sudut α adalah sudut yang dibentuk vektor F2 terhadap F1 dan sudut β adalah sudut yang dibentuk vektor R terhadap F1, dan garis X merupakan garis perpanjangan dari gari vektor F1 yang tegak lurus terhadap garis a, dengan menggunakan rumus sinus kita peroleh

Jika persamaan 8 kita bagi dengan persamaan 9, maka akan diperoleh

Persamaan 10 dapat kita tuliskan menjadi seperti ini

Persamaan 11 di atas merupakan rumus hubungan antara vektor F2 dengan vektor R. Selanjutnya kita akan menentukan rumus hubungan antara vektor F1 dengan vektor R. Untuk itu perhatikan gambar berikut ini.

Dari gambar di atas, sudut α adalah sudut yang dibentuk vektor F1 terhadap F2 dan sudut (α –β) adalah sudut yang dibentuk vektor R terhadap F2, dan garis Y merupakan garis perpanjangan dari gari vektor F2 yang tegak lurus terhadap garis b, dengan menggunakan rumus sinus kita peroleh

Jika persamaan 12 kita bagi dengan persamaan 13, maka akan diperoleh

Persamaan 14 dapat kita tuliskan menjadi seperti ini

Jika persamaan 11 dan 15 kita gabung maka akan menghasilkan rumus untuk menentukan arah vektor resultan atau kita sebut sebagai Rumus Sinus yaitu sebagai berikut

Cara Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dengan Rumus Cosinus-Sinus

Misalkan terdapat soal seperti ini

Dua buah vektor F1 dan F2 masing-masing besarnya 4 N dan 5 N dan memiliki titik pangkal berhimpit. Hitunglah nilai dari F1 + F2­­­­­-dan F1 – F2­­­­­ serta tentukan arah resultan vektornya jika sudut apit antara kedua vektor tersebut adalah 60o.

Penjumlahan Vektor dengan Rumus Cosinus-Sinus

Dari soal di atas, resultan dari F1 + F2­­­­­ dapat digambarkan seperti ini

Dengan menggunakan rumus cosinus, besar resultannya adalah

R	= √(|F1|2 + |F2|2 + 2 |F1| |F2| cos α)
R	= √(42+ 52 + 2. 4. 5. cos 60)
R	= √(16+ 25 + 40. 0,5)
R	= √(41 + 20)
R	= √61 = 7,81 N

Dengan menggunakan rumus sinus, arah resultannya adalah

R/sin α	= F2/sin β
sin β	= (F2/R). sin α
sin β	= (5/7,81). sin 60
sin β	= 0,64. 0,87
sin β	= 0,5568
β	= arc sin (0,5568) = 33,83o

Pengurangan Vektor dengan Rumus Cosinus-Sinus

Dari soal di atas, resultan dari F1 - F2­­­­­ dapat digambarkan seperti ini

Dengan menggunakan rumus cosinus, besar resultannya adalah

R	= √(|F1|2 + |F2|2 + 2 |F1| |F2| cos (180-α)
R	= √(|F1|2 + |F2|2 + 2 |F1| |F2|.- cos α)
R	= √(|F1|2 + |F2|2 - 2 |F1| |F2| cos α)
R	= √(42 + 52 - 2. 4. 5. cos 60)
R	= √(16+ 25 - 40. 0,5)
R	= √(41 - 20)
R	= √21= 4,58 N

Dengan menggunakan rumus sinus, arah resultannya adalah

R/sin (180-α)	= F2/sin β
sin β	= (F2/R). sin (180 – α)
sin β	= (F2/R). sin α
sin β	= (-5/7,81). sin 60o
sin β	= -0,64. 0,87
sin β	= -0,5568
β	= arc sin (-0,5568) = - 33,83o

Demikianlah artikel tentang cara cepat menentukan besar dan arah vektor resultan dengan menggunakan rumus kosinus-sinus. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.

Sumber https://www.fisikabc.com/

Buat lebih berguna, kongsi: